ściąga z matmy (ustny), Szkoła

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
POCHODNA FUNKCJI

Def. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x0 jeżeli istnieje skończona granica:

Styczna do wykresu y=f(x) w (x0,f(x0)):

y – f(x0) =f’ (x0) (x-x0)

RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI

Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie x0 jest w tym punkcie ciągła

Przykład:

Nie istnieje pochodna w punkcie 0!

Tw. Jeżeli f i g są różniczkowalne to:

POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ

Tw. Jeżeli f(x) jest rosnąca (malejąca), istnieje pochodna f ‘(a) ¹ 0 , jeżeli b= f (a) to f–1 (x) jest różniczkowalna w punkcie b oraz pochodna tej funkcji odwrotnej w punkcie b

Przykład:

POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Tw. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie x oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie g(x), to istnieje pochodna funkcji złożonej fog w punkcie x oraz (fog)’(x)=f’(g(x))*g’(x).

Przykład:

PRZEDSTAWIENIE PRZYROSTU FUNKCJI

Tw. Jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie (Ux0) punktu x0 oraz istnieje pochodna f ‘ (x0), to dla każdego h takiego, że x + h Î Ux0 zachodzi wzór:

f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)*h+a(h)*h,

przy czym:

(x®0) lim a(h)=0.

RÓŻNICZKA FUNKCJI f W PUNKCIE X0

Def. df (x0) = f ’ (x0) * h.

h = Dx

Def. df (x0) f ’ (x0) * Dx

x® df (x)

Przykład:

f (x0+h) » f (x0) + f ’ (x0) * h

więc h = 0,01

TWIERDZENIE DE L’HOSPITALA

Stosujemy tylko kiedy występuje symbol nieoznaczony)

Tw. (Z: - założenie)

są określone i różniczkowalne w

sąsiedztwie punktu x0 (Sx0).

Teza (T) Istnieje:

Przykład:

Przykład :(nieskończony)

ASYMPTOTYAsymptoty pionowe:

Def. x = x0 jest asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) jeśli:

Przykład:

x = 3 nie jest asymptotą pionową lewostronną

x = 3 jest as. pionową prawostronną.

Asymptoty ukośne:

Def. y = ax + b jest asymptotą ukośną f(x) w + ¥ (- ¥) jeżeli:

(x®¥) lim [ f(x) – ax + b)] = 0

Jeżeli istnieją skończone granice

to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f(x) w + ¥ (- ¥).

Przykład:

y= x + 1 as. ukośna w +¥.

TWIERDZENIE ROLLE’A

Tw. Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), oraz f(a) = f(b), to istnieje c Î (a,b) taki, że f ‘ (c) = 0.

Przykład:

Udowodnić, że równanie x3 – 3x + a = 0 nie może mieć 2 różnych pierwiastków Î<0,1>. Załóżmy, że x1, x2 Î <0,1>, x1 ¹ x2 i x13 – 3x1 + a = 0

x23 – 3x2 + a = 0

f(x)= x3 – 3x + a

f(x1)=f(x2)=0

niech: x1 < x2

<x1,x2>

f ’ (c) = 0

3c2 – 3 = 0 Û c = ± 1

0 £ x1 < c < x2 £ 1 - sprzeczność

TWIERDZENIE LAGRANGE’A

Tw. Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), to istnieje c Î (a,b), taki, że:

Wnioski:

1) funkcja jest funkcją stałą w (a,b) Û f ‘ (x) = 0 w (a,b)

x1 < x2 Þ f (x1) = f (x2)

2) jeżeli f ‘ (x) > 0 w (a,b) to funkcja jest funkcją rosnącą

w (a,b) x1 < x2 Þ f (x1) < f (x2)

3) jeżeli f ‘ (x) < 0 w (a,b) to funkcja jest funkcją malejącą

w (a,b)

EKSTREMUM

Def. Funkcja ma w x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli

- max. właściwe

Warunek konieczny (WK) na istnienie ekstremum lokalnego:

Jeżeli funkcja ma pochodną f ‘ (x0) i w x0 jest przyjęte ekstremum, x0 f ‘ (x) = 0

Warunek wystarczający ekstremum:

1) jeżeli funkcja jest różniczkowalna w Sx0, ciągła w x0 to:

- jeżeli f ‘ (x) < 0 w Sx0-, f ‘ (x) > 0 w Sx0+, to funkcja ma w x0 minimum lokalne właściwe

- jeżeli f ‘ (x) > 0 w Sx0-, f ‘ (x) < 0 w Sx0-, to funkcja ma w x0 minimum lokalne właściwe

2) jeżeli f ‘ (x0) = 0 to:

- funkcja ma w x0 max lokalne właściwe, jeżeli f ‘’ (x0) < 0

- funkcja ma w x0 max lokalne właściwe, jeżeli f ‘’ (x0) > 0

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ

Def. Funkcje f (x) nazywamy wypukłą (wklęsłą) w (a,b), jeżeli wykres tej funkcji w (a,b) znajduje się pod (nad) sieczną łączącą punkty (a, f (a)), (b, f (b))

È - wypukła, Ç - wklęsła

Tw. Jeżeli f ‘’ (x) > 0 w (a,b), to funkcja jest wypukła w (a,b)

Tw. Jeżeli f ‘’ (x) < 0 w (a,b), to funkcja jest wklęsła w (a,b)

PUNKT PRZEGIĘCIA

Def. Punkt (x0 , f (x0)) jest pukktem przegięcia funkcji f(x), jeżeli funkcja jest funkcją wklęsłą (wypukłą) w sąsiedztwie lewostronnym Sx-; wypukłą (wklęsłą) w sąsiedztwie prawostronnym Sx+.

CAŁKA NIEOZNACZONA

Def. Funkcję pierwotną funkcji f (x) na przedziale I nazywamy każdą różniczkowalną funkcję F(x) spełniającą warunek F’(x) = f (x)

f (x) = sin x F (x) = -cos x

Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale I ma w tym przedziale funkcję pierwotną

-cos x + 3 (dodać dowolną stałą i zawsze otrzymamy

funkcję pierwotną)

Tw. Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) w przedziale I, to:

1) F(x)+ c , cÎR też jest funkcją pierwotną

2) Każdą funkcję pierwotną Æ(x) można przedstawić

w postaci Æ(x) = F (x) + c dla pewnego cÎR.

{F(x)+ c , cÎR}

Def. Całką nieoznaczoną funkcji f (x) na przedziale I nazyw...